Quantum Field Theory
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本
note
基于贾宇老师的课堂内容整理.
目录
A.
相对论性量子力学回顾
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A.1. Klein-Gordon
方程
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1
A.2. Dirac
方程
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A.3.
利用
K-G
方程与
Dirac
方程计算氢原子能谱
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1
A.3.1.
从
K-G
方程推导
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1
A.3.2.
从
Dirac
方程推导
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1
A.4.
用
Dirac
方程计算电子磁矩
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1
B. QFT
的诞生
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1
B.1.
一维经典弦的量子化
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1
C.
经典场论
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1
C.1. Lorentz
变换
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C.2.
场的分类
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C.3.
场的
Euler-Lagrange
方程
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1
A.
相对论性量子力学回顾
Schrödinger
方程的推导
参见这个
note (ruriko.moe/SchrodingerEquation)
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A.1.
Klein-Gordon
方程
对动量
4
-矢量有:
𝑝
=
𝑝
𝜇
=
(
𝐸
𝑐
,
⃗
𝑝
)
,
𝑝
2
=
𝑚
2
𝑐
2
⟹
𝐸
=
√
⃗
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
⟹
𝐸
2
=
⃗
𝑝
2
𝑐
2
+
𝑚
2
𝑐
4
(1)
得到
Klein-Grdon
方程:
[
[
[
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜕
𝑡
2
−
2
+
(
𝑚
𝑐
ℎ
)
2
]
]
]
𝜓
=
0
,
or
(
(
(
□
+
(
𝑚
𝑐
ℎ
)
2
)
)
)
𝜓
=
0
,
其中
□
=
𝑔
𝜇
𝜈
𝜕
𝜇
𝜕
𝜈
(
d'Alembert
算符
)
(2)
该方程存在下述两个问题:
1.
负能解: 导致真空不稳定.
2.
负几率: 波函数的概率诠释失效.
下面我们来分析这两个问题:
1.
负能解:
K-G
方程的本征波函数
𝜓
KG
=
e
i
ℎ
(
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
−
𝐸
𝑡
)
(3)
显然, 能量本征值:
𝐸
=
±
√
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
(4)
我们发现, 能量存在负解
−
√
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
. 我们认为量子系统存在能量最低的粒子数为
0
的真空态. 在存在负能
解的情况下, 真空态的能量趋于
−
∞
, 显然这会导致真空的不稳定.
2.
负几率:
K-G
方程可以写成连续性方程的形式:
𝜕
𝜕
𝑡
𝜌
+
·
⃗
𝐽
=
0
(5)
其中:
𝜌
KG
=
𝑁
Im
(
𝜓
∗
𝜕
𝜕
𝑡
𝜓
)
,
⃗
𝐽
KG
=
𝑁
𝑐
2
Im
(
𝜓
∗
𝜓
)
(6)
显然,
𝜌
KG
不正定, 概率密度可能出现
𝜌
KG
≤
0
的情况.
A.2.
Dirac
方程
为了解决负几率问题, 提出了
Dirac
方程.
Dirac
方程通过
Schrödinger
方程
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
𝜓
=
𝐻
𝜓
(7)
得到.
考虑波函数
𝜓
是一个
𝑛
维矢量:
𝜓
(
𝑥
,
𝑡
)
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
𝜓
1
𝜓
2
⋮
𝜓
𝑛
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(8)
令所求方程形式为:
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
𝜓
=
[
−
i
ℎ
𝑐
⃗
𝛼
·
+
𝛽
𝑚
𝑐
2
]
𝜓
(9)
其中,
𝛼
是
𝑛
元矩阵矢量:
𝛼
=
(
𝛼
1
,
𝛼
2
,
𝛼
2
)
,
𝛼
𝑖
(
𝑖
=
1
,
2
,
3
)
和
𝛽
为矩阵.
狭义相对论要求对
公式 9
两边算符平方 (作用两次) 会回到
K-G
方程:
(
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
)
2
𝜓
=
𝐻
2
𝜓
(10)
⟹
−
ℎ
2
𝜕
2
𝜕
𝑡
2
𝜓
=
−
ℎ
2
𝑐
2
∑
3
𝑖
𝑗
=
1
{
𝛼
𝑖
,
𝛼
𝑗
}
𝜕
𝑖
𝜕
𝑗
𝜓
−
i
ℎ
𝑚
𝑐
3
∑
3
𝑖
=
1
{
𝛼
𝑖
,
𝛽
}
𝜕
𝑖
𝜓
+
𝑚
2
𝑐
4
𝛽
2
𝜓
(11)
其中
{
𝐴
,
𝐵
}
=
𝐴
𝐵
+
𝐵
𝐴
为反对易算符.
对比上式与
K-G
方程
, 可以得到以下条件:
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
𝛼
𝑖
,
𝛽
}
=
0
{
𝛼
𝑖
,
𝛼
𝑗
}
=
2
𝛿
𝑖
𝑗
𝟙
⟹
(
𝛼
𝑖
)
2
=
𝟙
𝛽
2
=
𝟙
(12)
我们发现, 当
𝑛
=
4
时, 可以选取
4
×
4
矩阵:
⃗
𝛼
=
(
0
⃗
𝜎
⃗
𝜎
0
)
,
𝛽
=
(
𝟙
0
0
−
𝟙
)
(13)
使以上条件成立, 其中
⃗
𝜎
为
Pauli
矩阵
⃗
𝜎
=
(
𝜎
𝑥
,
𝜎
𝑦
,
𝜎
𝑧
)
.
通常, 我们记
𝛾
=
𝛾
𝜇
=
(
𝛾
0
,
⃗
𝛾
)
=
(
𝛽
,
𝛽
⃗
𝛼
)
(14)
则所求方程可以写为:
(
i
𝛾
𝜇
𝜕
𝜇
−
𝑚
𝑐
ℎ
)
𝜓
(
𝑡
,
⃗
𝑥
)
=
0
(15)
上式即
Dirac
方程.
可以验证, 将上式写成连续性方程的形式:
𝜕
𝜕
𝑡
𝜌
+
·
⃗
𝑗
=
0
(16)
其中
𝜌
=
𝜓
†
𝜓
=
|
𝜓
|
2
≥
0
,
⃗
𝑗
=
𝑐
𝜓
†
⃗
𝛼
𝜓
(17)
解决了负几率问题.
Dirac
方程的能量本征值
𝐸
=
±
√
𝑝
2
𝑐
2
+
𝑚
2
𝑐
4
(18)
没有解决负能解问题. 为了解决负能解问题,
Dirac
提出了
Dirac sea
理论, 并以此预言了正电子的存在.
A.3.
利用
K-G
方程与
Dirac
方程计算氢原子能谱
A.3.1.
从
K-G
方程推导
我们对
K-G
方程中的能量与动量做"最小耦合"处理:
𝐸
⟶
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
+
𝑒
𝜙
𝑝
⟶
−
i
ℎ
+
𝑒
⃗
𝐴
𝑐
(19)
代入
K-G
方程, 得:
(
𝐸
−
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
)
𝜓
=
0
⇒
[
[
[
[
(
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
+
𝑒
𝜙
)
2
−
𝑐
2
(
(
(
(
−
i
ℎ
+
𝑒
⃗
𝐴
𝑐
)
)
)
)
2
−
𝑚
2
𝑐
4
]
]
]
]
𝜓
=
0
(20)
氢原子满足库伦势和定态解:
𝐴
𝜇
=
(
𝑒
4
𝜋
𝑟
,
0
)
,
𝜓
(
𝑡
,
⃗
𝑟
)
∝
e
−
i
𝐸
𝑡
/
ℎ
𝜓
(
⃗
𝑟
)
(21)
代入化简, 得定态方程:
[
[
[
(
(
(
𝐸
+
𝑒
2
4
𝜋
𝑟
)
)
)
2
−
ℎ
2
𝑐
2
2
−
𝑚
2
𝑐
4
]
]
]
𝜓
(
⃗
𝑟
)
=
0
(22)
将波函数写成
𝜓
(
⃗
𝑟
)
=
𝑌
𝑚
(
𝜃
,
𝜙
)
𝑅
𝑛
(
𝑟
)
(23)
即可解出氢原子能谱方程:
𝐸
𝑛
𝑙
=
𝑚
𝑐
2
√
√
√
√
1
+
𝛼
2
(
(
(
𝑛
−
𝑙
−
1
2
+
√
(
𝑙
+
1
2
)
2
−
𝛼
)
)
)
2
=
𝑚
𝑐
2
[
[
[
1
−
𝛼
2
2
𝑛
2
−
𝛼
4
2
𝑛
4
(
(
(
(
(
𝑛
𝑙
+
1
2
−
3
4
)
)
)
)
)
+
⋯
]
]
]
(24)
𝑙
为角量子数.
其中第一项是静止质量, 第二项是
Bohr
能级, 第三项即为相对论带来的修正. 第三项的相对论修正仍与实验结果有一
定误差. 我们考虑
Dirac
方程.
A.3.2.
从
Dirac
方程推导
同理, 我们对
Dirac
作最小耦合处理:
(
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
+
𝑒
𝜙
)
𝜓
=
(
−
i
ℎ
𝛁
+
𝑒
𝑐
⃗
𝐴
)
·
⃗
𝛼
𝜓
+
𝛽
𝑚
𝑐
2
𝜓
,
{
{
{
{
{
𝑒
𝜙
=
𝑒
2
4
𝜋
𝑟
⃗
𝐴
=
0
⟹
[
𝐻
,
−
i
ℎ
⃗
𝑟
×
𝛁
+
ℎ
⃗
𝜎
2
]
=
0
(25)
解得能级为:
𝐸
𝑛
𝑗
=
𝑚
𝑐
2
√
√
√
√
1
+
𝛼
2
(
(
(
𝑛
−
𝑗
−
1
2
+
√
(
𝑗
+
1
2
)
2
−
𝛼
2
)
)
)
2
=
𝑚
𝑐
2
[
[
[
1
−
𝛼
2
2
𝑛
2
−
𝛼
4
2
𝑛
4
(
(
(
(
(
𝑛
𝑗
+
1
2
−
3
4
)
)
)
)
)
+
⋯
]
]
]
(26)
𝑗
为总量子数. 此项结果与实验吻合较好.
A.4.
用
Dirac
方程计算电子磁矩
见
J. J. Sakurai
Modern Quantum Mechanics
8.2.4
B.
QFT
的诞生
B.1.
一维经典弦的量子化
考虑
𝑁
个质量
𝑚
的简谐振子组成的一维链,总长
𝐿
0
=
𝑁
𝑙
, 平衡状态下每个振子相距为
𝑙
, 记
𝑛
𝑖
为第
𝑖
个振子,
其位置为
𝜂
𝑖
. 若振子
𝑛
𝑖
产生了一个小偏移, 则其动能
𝑇
=
∑
𝑁
𝑖
=
1
1
2
𝑚
𝑣
2
𝑖
=
∑
𝑁
𝑖
=
1
1
2
𝑚
̇
𝜂
2
𝑖
=
1
2
𝑚
∑
𝑁
𝑖
=
1
(
d
𝜂
d
𝑡
)
2
(27)
势能:
𝑉
=
∑
𝑁
𝑖
=
1
1
2
𝑘
(
𝜂
𝑖
+
1
−
𝜂
𝑖
)
2
(28)
取连续极限:
𝑁
→
∞
,
𝑙
→
0
(29)
得到:
𝑇
=
1
2
𝑚
∑
𝑁
𝑖
=
1
(
d
𝜂
d
𝑡
)
2
=
1
2
𝑚
𝑙
∑
𝑁
𝑖
=
1
𝑙
(
d
𝜂
d
𝑡
)
2
=
1
2
𝜇
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
(
𝜕
𝜂
(
𝑥
,
𝑡
)
𝜕
𝑡
)
2
𝑉
=
1
2
𝑘
𝑙
∑
𝑁
𝑖
=
1
𝑙
(
𝑛
𝑖
+
1
−
𝑛
𝑖
𝑙
)
2
=
1
2
𝒯
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
(
𝜕
𝜂
(
𝑥
,
𝑡
)
𝜕
𝑥
)
2
(30)
其中
𝜇
=
𝑚
/
𝑙
为弦的线密度
[
𝑀
/
𝐿
]
,
𝒯
=
𝑘
𝑙
为弦的杨氏模量 (张力)
[
𝐸
/
𝐿
]
.
于是我们得到
Lagrangian:
𝐿
=
𝑇
−
𝑉
=
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
[
[
[
1
2
𝜇
(
𝜕
𝜂
𝜕
𝑡
)
2
−
1
2
𝒯
(
𝜕
𝜂
𝜕
𝑥
)
2
]
]
]
(31)
记
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
)
=
√
𝜇
𝜂
(
𝑡
,
𝑥
)
,
𝑐
=
√
𝒯
𝜇
(32)
有:
𝐿
=
1
2
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
[
[
[
[
(
(
(
(
𝜕
(
√
𝜇
𝜂
)
𝜕
𝑡
)
)
)
)
2
−
(
𝒯
𝜇
)
(
(
(
(
𝜕
(
√
𝜇
𝜂
)
𝜕
𝑥
)
)
)
)
2
]
]
]
]
=
1
2
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
[
[
[
(
𝜕
𝑢
𝜕
𝑡
)
2
−
𝑐
2
(
𝜕
𝑢
𝜕
𝑥
)
2
]
]
]
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
Lagrangian density
ℒ
(33)
𝑐
即波速. 故我们有
Euler-Lagrange
方程:
𝜕
2
𝑢
𝜕
𝑡
2
−
𝑐
2
𝜕
2
𝑢
𝜕
𝑥
2
=
0
(34)
令弦两端固定, 有边界条件:
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
=
0
)
=
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
=
𝐿
0
)
=
0
(35)
我们将
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
)
在位形空间
Fourier
展开:
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
)
=
∑
∞
𝑘
=
1
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
sin
(
𝜔
𝑘
𝑥
𝑐
)
,
𝜔
𝑘
=
𝑘
𝜋
𝑐
𝐿
0
(36)
𝜔
𝑘
即正则角频率. 代入
Lagrangian
表达式:
𝐿
=
𝐿
0
4
∑
∞
𝑘
=
1
[
̇
𝑞
2
𝑘
(
𝑡
)
−
𝜔
2
𝑘
𝑞
2
𝑘
(
𝑡
)
]
(37)
我们也可以得到相应的
Euler-Language
方程:
̈
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
+
𝜔
2
𝑘
𝑞
2
𝑘
(
𝑡
)
=
0
(38)
我们定义正则动量
𝑝
𝑘
=
𝜕
𝐿
𝜕
̇
𝑞
𝑘
=
𝐿
0
2
̇
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
(39)
做
Legendre
变换:
𝐻
=
∑
∞
𝑘
=
1
𝑝
𝑘
̇
𝑞
𝑘
−
𝐿
=
∑
∞
𝑘
=
1
(
(
(
(
𝑝
2
𝑘
𝐿
0
+
𝐿
0
4
𝜔
2
𝑘
𝑞
2
𝑘
)
)
)
)
(40)
量子力学中, 动量与位置算符满足
[
̂
𝑝
,
̂
𝑥
]
=
−
i
ℎ
. 在这里, 我们将位置
𝑞
𝑘
和正则动量
𝑝
𝑘
看作
量子
算符, 并满足对
易关系 (
等时
量子化条件):
[
̂
𝑝
𝑘
(
𝑡
)
,
̂
𝑞
𝑗
(
𝑡
)
]
=
−
i
ℎ
𝛿
𝑘
𝑗
,
[
̂
𝑝
𝑘
(
𝑡
)
,
̂
𝑝
𝑗
(
𝑡
)
]
=
[
̂
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
,
̂
𝑞
𝑗
(
𝑡
)
]
=
0
(41)
我们回忆量子力学里的简谐振子模型, 可以用粒子数算符表示为
̂
𝑥
=
√
ℎ
2
𝑚
𝜔
(
𝑎
+
𝑎
†
)
,
̂
𝑝
=
−
i
√
𝑚
ℎ
𝜔
2
(
𝑎
−
𝑎
†
)
̂
𝐻
=
ℎ
𝜔
(
𝑎
†
𝑎
+
1
2
)
,
𝑎
|
𝑛
⟩
=
√
𝑛
|
𝑛
−
1
⟩
,
𝑎
†
=
√
𝑛
+
1
|
𝑛
+
1
⟩
[
𝑎
,
𝑎
†
]
=
1
(42)
其中
𝑎
为下降算符 (
lowering operator),
𝑎
†
为上升算符 (
raising operator).
同样的, 我们可以将上文给出的
𝑞
𝑘
表示为:
̂
𝑞
𝑘
=
√
ℎ
𝐿
0
𝜔
𝑘
(
𝑎
𝑘
e
−
i
𝜔
𝑘
𝑡
+
𝑎
†
𝑘
e
i
𝜔
𝑘
𝑡
)
(
(
(
(
⇔
̂
𝑥
=
√
ℎ
2
𝑚
𝜔
(
𝑎
+
𝑎
†
)
)
)
)
)
(43)
其中,
𝑎
𝑘
为湮灭算符 (
annihilation operator),
𝑎
†
𝑘
为产生算符 (
creation operator).
若要满足
公式 41
的量子化条
件, 应有:
[
𝑎
𝑘
,
𝑎
†
𝑗
]
=
𝛿
𝑘
𝑗
(
⇔
[
𝑎
,
𝑎
†
]
=
1
)
[
𝑎
𝑘
,
𝑎
𝑗
]
=
[
𝑎
†
𝑘
,
𝑎
†
𝑗
]
=
0
(44)
按
公式 41
也可以给出
̂
𝑝
𝑘
=
−
i
√
𝐿
0
𝜔
𝑘
ℎ
4
(
𝑎
𝑘
e
−
i
𝜔
𝑘
𝑡
−
e
i
𝜔
𝑘
𝑡
)
(45)
将产生湮灭算符给出的
̂
𝑞
𝑘
与
̂
𝑝
𝑘
代入
Hamiltonian
的表达式, 可以得到:
𝐻
=
∑
∞
𝑘
=
1
ℎ
𝜔
𝑘
(
𝑎
†
𝑘
𝑎
𝑘
+
1
2
)
(46)
因此, 我们可以把量子场理解为无穷多个谐振子的联合. 对于基态
|
0
⟩
, 有
𝑎
𝑘
|
0
⟩
=
0
,
∀
𝑘
=
1
,
…
,
∞
(47)
𝐻
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
=
[
𝐻
,
𝑎
†
𝑘
]
|
0
⟩
+
𝑎
†
𝑘
𝐻
|
0
⟩
=
ℎ
𝜔
𝑘
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
+
𝐸
0
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
=
(
𝐸
0
+
ℎ
𝜔
𝑘
)
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
(48)
因此我们称
𝑎
𝑘
为湮灭算符,
𝑎
†
𝑘
为产生算符.
量子弦的能量本征态为
|
𝑛
1
,
…
,
𝑛
𝑖
,
…
,
𝑛
𝑘
⟩
(49)
其中
𝑛
𝑖
为
𝜔
𝑖
模式的粒子 (光子) 数. 描述这个本征态的空间称为
Fork space:
ℱ
=
⨁
𝑛
𝐻
𝑛
(50)
其中
𝐻
𝑛
为固定了
𝑛
个粒子 (光子) 的
Hilbert
空间.
由此我们可以把
(
𝑎
†
)
𝑛
诠释为产生
𝑛
个粒子———粒子是场激发对应的量子.
零点能
𝐻
|
0
⟩
=
𝐸
0
|
0
⟩
=
∑
∞
𝑘
=
1
1
2
ℎ
𝜔
𝑘
∝
∑
∞
1
𝑘
(51)
我们发现这个级数是发散的. 为了解决这个问题, 我们未来会引入"重整化".
C.
经典场论
在场论中, 我们采用自然单位制 (
God given unit/natural unit):
ℎ
=
𝑐
=
1
(52)
在此单位制下, 我们有:
[
𝐸
]
=
1
=
[
𝑝
]
=
[
𝑚
]
[
𝐿
]
=
[
𝑡
]
=
−
1
(53)
经典场的
Lagrangian
可以写成如下形式:
𝐿
=
∫
d
3
𝑥
ℒ
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
,
𝑆
=
∫
𝐿
d
𝑡
(54)
其中作用量
𝑆
是一个
Lorentz
标量 (
Lorentz Scalar).
因此有:
𝑆
=
∫
d
𝑡
d
𝑥
3
ℒ
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
∫
d
4
𝑥
ℒ
(
𝑥
)
(55)
在上式中, 作用量
𝑆
是一个实标量,
d
4
𝑥
是
Lorentz
不变量 (
Lorentz invariance),
因此我们要求拉格朗日密度
(
Larangian density)
ℒ
(
𝑥
)
是一个
Lorentz
不变量.
C.1.
Lorentz
变换
对于4-矢量
𝑥
𝜇
=
(
𝑡
,
𝑥
1
,
𝑥
2
,
𝑥
3
)
, 其
Lorentz
变换
𝑥
𝜇
⟶
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
=
𝑥
′
𝜇
(56)
变换
Λ
包含了空间上的转动变换和时空上的
boost
变换, 比如绕
𝑥
轴的转动变换:
Λ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
1
1
cos
𝜃
𝑥
−
sin
𝜃
𝑥
sin
𝜃
𝑥
cos
𝜃
𝑥
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(57)
𝑥
和
𝑡
上的
boost
变换
Λ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
𝛾
𝛾
𝑣
𝛾
𝑣
𝛾
1
1
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(58)
这里我们定义快度
𝛽
𝛽
=
1
2
ln
1
+
𝑣
1
−
𝑣
(59)
有:
cosh
𝛽
=
𝛾
=
1
√
1
−
𝑣
2
sinh
𝛽
=
𝛾
𝑣
(60)
于是, 变换矩阵为:
Λ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
cosh
𝛽
sinh
𝛽
sinh
𝛽
cosh
𝛽
1
1
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(61)
Lorentz
变换
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
(62)
不改变时空间隔的长度:
d
𝑠
2
=
𝑔
𝜇
𝜈
d
𝑥
′
𝜇
d
𝑥
′
𝜈
=
𝑔
𝜌
𝜎
d
𝑥
𝜌
d
𝑥
𝜎
(63)
将
公式 63
右侧的微分除到左侧, 得到:
⟹
𝑔
𝜇
𝜈
𝜕
𝑥
′
𝜇
𝜕
𝑥
𝜌
𝜕
𝑥
′
𝜈
𝜕
𝑥
𝜎
=
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
=
𝑔
𝜌
𝜎
⟹
(
Λ
𝜌
𝜈
)
𝖳
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜈
𝜎
=
𝑔
𝜌
𝜎
(64)
写成矩阵形式
Λ
𝖳
𝑔
Λ
=
𝑔
(65)
两边取
determinant
det
(
Λ
𝖳
𝑔
Λ
)
=
det
(
𝑔
)
⟹
det
(
Λ
𝖳
)
det
(
𝑔
)
det
(
Λ
)
=
det
(
𝑔
)
⟹
det
(
Λ
)
2
=
1
(66)
我们得到
det
(
Λ
)
=
±
1
(67)
即
Lorentz
矩阵的特征值为
±
1
.
我们回到
Lorentz
变换
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
=
𝑔
𝜌
𝜎
(68)
取
𝜌
=
𝜎
=
0
, 有:
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜇
0
Λ
𝜈
0
=
𝑔
0
0
=
1
⟹
(
Λ
0
0
)
2
−
∑
3
𝑖
=
1
(
Λ
𝑖
𝑜
)
2
=
1
⟹
(
Λ
0
0
)
2
=
1
+
∑
3
𝑖
=
1
(
Λ
𝑖
𝑜
)
2
≥
1
(69)
因此,我们发现
Λ
0
0
≥
+
1
or
Λ
0
0
≤
−
1
(70)
四维时空中的矢量和张量可以是协变, 逆变或者协变逆变混合的:
1.
逆变量的
Lorentz
变换形如:
𝑥
𝜇
→
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
𝑇
𝜇
𝜈
→
𝑇
′
𝜇
𝜈
=
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
𝑇
𝜌
𝜎
(71)
2.
协变量的
Lorentz
变换形如:
𝑥
𝜇
→
𝑥
′
𝜇
=
(
Λ
−
1
)
𝜈
𝜇
𝑥
𝜈
𝑇
𝜇
𝜈
→
𝑇
′
𝜇
𝜈
=
(
Λ
−
1
)
𝜌
𝜇
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜈
𝑇
𝜌
𝜎
(72)
3.
协变逆变混合量的
Lorentz
变换形如:
𝑇
𝜇
𝜈
→
𝑇
′
𝜇
𝜈
=
Λ
𝜇
𝜌
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜈
𝑇
𝜌
𝜎
(73)
考虑矢量平方的
Lorentz
变换:
𝑥
2
=
𝑥
𝜇
𝑥
𝜇
⟶
𝑥
′
2
=
𝑥
′
𝜇
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜌
𝑥
𝜌
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜇
𝑥
𝜎
=
(
Λ
𝜇
𝜌
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜇
)
𝑥
𝜌
𝑥
𝜎
=
𝛿
𝜎
𝜌
𝑥
𝜌
𝑥
𝜎
=
𝑥
2
(74)
C.2.
场的分类
我们可以按
Lorentz
变换下的行为对场进行分类为标量场, 矢量场, 张量场和旋量场.
1.
标量场
𝜙
(
𝑥
)
→
𝜙
′
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
𝜙
(
𝑥
)
(75)
2.
矢量场, 如电磁场
𝐴
𝜇
(
𝑥
)
→
𝐴
′
𝜇
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
Λ
𝜇
𝜈
𝐴
𝜈
(
Λ
−
1
𝑥
)
(76)
3.
张量场
ℎ
𝜇
𝜈
(
𝑥
)
→
ℎ
′
𝜇
𝜈
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
ℎ
𝜌
𝜎
(
𝑥
)
(77)
4.
旋量场 (
Dirac
场)
𝜓
(
𝑥
)
→
𝜓
′
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
Λ
1
2
𝜓
(
𝑥
)
"spiner-field"
(78)
场论中的
Lagrangian density
可以包含形如以下这些的项:
ℒ
(
𝑥
)
⊂
𝜙
(
𝑥
)
,
𝜕
𝜇
𝜙
(
𝑥
)
𝜕
𝜈
𝜙
(
𝑥
)
,
𝜙
3
(
𝑥
)
,
𝜙
1
0
0
0
0
0
9
(
𝑥
)
,
sin
𝜙
(
𝑥
)
,
…
(79)
而不可以包含像这样的项:
ℒ
(
𝑥
)
⊄
𝜕
𝜇
𝜙
(
𝑥
)
:
矢量
,
不满足
Lorentz invariance
,
𝜙
1
□
𝜙
,
∫
d
3
𝑦
𝜙
(
𝑥
)
𝜙
(
𝑦
)
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
Nonlocal field
(80)
这里我们出于简单考虑, 要求我们的场论是定域 (局域) 的, 而不能是非定域 (全局) 的.
由于
[
d
4
𝑥
]
=
4
, 我们发现
Lagrangian density
的量纲是
[
ℒ
]
=
+
4
. Lagrangian density
可以写成以下形式:
ℒ
=
𝒦
−
𝒱
(81)
其中
𝒦
项可以形如
𝒦
⊂
𝜙
2
(
自由场
)
,
𝜕
𝜇
𝜙
𝜕
𝜇
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
1
𝜕
𝜇
𝜙
2
,
𝜕
𝜇
𝜙
𝜕
𝜇
𝜙
∗
,
𝜕
𝜇
𝜙
𝐴
𝜇
,
−
1
4
𝐹
𝜇
𝜈
𝐹
𝜇
𝜈
,
…
(82)
𝒱
项是相互作用项, 至少包含三线型
𝒱
⊂
𝜙
3
,
𝜙
4
,
𝑛
4
𝛾
𝜇
𝜓
𝐴
𝜇
,
𝜕
𝛾
𝜙
𝐴
𝛾
𝜙
∗
,
(
𝐴
𝛾
𝐴
𝛾
)
2
,
𝜕
𝜇
ℎ
𝜇
𝜈
𝜕
𝜈
ℎ
𝛼
𝛽
ℎ
𝛼
𝛽
,
…
(83)
𝜙
的量纲
[
𝜙
]
=
+
1
.
我们研究形如下式的
K-G
场的
Largrangian density:
ℒ
KG
=
1
2
𝜕
𝜇
𝜕
𝜇
𝜙
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
=
1
2
̇
𝜙
2
−
1
2
𝛁
𝜙
·
𝛁
𝜙
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
(84)
在经典力学中我们定义动量:
𝑝
=
𝜕
𝐿
𝜕
̇
𝑞
, 同样的, 我们定义共轭动量密度
𝜋
(
𝑥
)
=
𝜕
ℒ
𝜕
̇
𝜙
=
̇
𝜙
(85)
经典力学中通过
Legendre
变换将
Hamiltonian
定义为
𝐻
(
𝑝
,
𝑞
)
=
𝑝
̇
𝑞
−
𝐿
, 同样的, 我们定义场的
Hamiltonian
density:
ℋ
(
𝑥
)
=
𝜋
̇
𝜙
−
ℒ
(86)
代入
Lagrangian density,
我们得到:
ℋ
(
𝜋
,
𝜙
)
=
𝜋
̇
𝜙
−
ℒ
=
1
2
𝜋
2
+
1
2
(
𝛁
𝜙
)
2
+
1
2
𝑚
2
𝜙
2
≥
0
(87)
因此我们发现这个场具有稳定的基态.
C.3.
场的
Euler-Lagrange
方程
考虑场的作用量
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
ℒ
(
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
)
(88)
我们对其取变分等于
0
:
0
=
𝛿
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
𝛿
ℒ
(
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
)
=
∫
d
4
𝑥
[
[
[
[
[
[
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
𝛿
𝜙
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝜕
𝜇
𝛿
𝜙
]
]
]
]
]
]
=
∫
d
4
𝑥
[
[
[
[
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
𝛿
𝜙
+
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
)
)
)
)
)
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝜙
]
]
]
]
=
∫
d
4
𝑥
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝜙
+
∫
d
4
𝑥
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
)
)
)
)
)
(89)
我们认为在无穷远处和无穷旧的时间后场是趋于
0
的, 那么第二项积分应为
0
:
𝛿
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝜙
=
0
(90)
由于
𝛿
𝜙
的取值任意, 那么我们得到场的
Euler-Lagrange
方程 (
equation of motion,
运动方程):
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
=
0
(91)
我们将上文中的
ℒ
代入
公式 91
,有:
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
=
𝑚
2
𝜙
,
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
=
□
𝜙
⟹
(
□
+
𝑚
2
)
𝜙
=
0
(
K-G
方程
)
(92)
习题:
1.
ℒ
=
1
2
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
2
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
−
𝜆
4
!
𝜙
4
2.
ℒ
CKG
=
𝜕
𝜇
𝜙
𝜕
𝜇
𝜙
∗
−
𝑚
2
|
𝜙
|
2
3.
ℒ
Max
=
−
1
4
𝐹
𝜇
𝜈
𝐹
𝜇
𝜈
−
𝐴
𝜇
𝑗
𝜈